4. Dalāmības pazīmes Dalāmības pazīmes ar 2, 4, 8 (arī 5, 25, 125)

Prezentācija par tēmu: "4. Dalāmības pazīmes Dalāmības pazīmes ar 2, 4, 8 (arī 5, 25, 125)"— Prezentācijas transkripts:

1 4. Dalāmības pazīmes Dalāmības pazīmes ar 2, 4, 8 (arī 5, 25, 125)
Dalāmības pazīmes ar 3 un 9 Dalāmības pazīme ar 11 Pazīmju kombinēšana Dalīšanas atlikumi un pazīmes **Anotācija** Ievērojama daļa skaitļu teorijas uzdevumu ir par dalāmības attiecību (viens skaitlis dalās/nedalās ar otru; pirmskaitlis kā skaitlis ar diviem naturāliem dalītājiem). Dalāmības attiecība ir interesanta, jo to ne vienmēr var izpildīt, joprojām paliekot veselo skaitļu kopā. Dalāmības attiecība ļauj definēt pirmskaitļus (skaitļus, kam ir tieši divi dalītāji), dalīšanu pirmreizinātājos, u.c. <!-- Rīgas ielu plāksnītes color: rgb=(0, 57, 94) Emblem of Israel color: rgb=(0, 119, 185) -->

2 Kvantitatīva īpašība objektam piekārto skaitli
Kvantitatīva īpašība objektam piekārto skaitli. Piemērs: Cilvēka vecums gados – noapaļots uz leju līdz tuvākajam veselajam skaitlim. Kvalitatīva īpašība objektam piekārto atbildi JĀ vai NĒ. Piemērs: Vai cilvēks ir sieviete. Vārdu *kvalitāte* citādi saprot uzņēmējdarbībā – prece vai pakalpojums tiek uzskatīti par kvalitatīviem, ja tie atbilst tam, ko sagaida patērētājs.

3 Dalīšana ar atlikumu Definīcija: Izdalīt veselu skaitli 𝑚 ar 𝑛 ar atlikumu, nozīmē uzrakstīt skaitli formā 𝑚=𝑞𝑛+𝑟, turklāt 𝑞 un 𝑟 ir veseli skaitļi, un 𝑟∈{0,1,⋯,𝑛−1}. Dalīšanu ar atlikumu veic kā parastu dalīšanu, to turpina līdzkamēr atlikums kļūst mazāks par dalītāju. Teorēma: Jebkuram veselam skaitlim 𝑚 un jebkuram naturālam skaitlim 𝑛 eksistē tieši viens veselu skaitļu pāris (𝑞,𝑟), kur skaitlim 𝑟 izpildās nosacījums 0≤𝑟<𝑛. . Arī negatīviem skaitļiem iespējama dalīšana ar atlikumu. Jāņem vērā, ka atlikumi nemēdz būt negatīvi. Diemžēl daudzās programmēšanas valodās *atlikuma operators*, ja to izmanto negatīviem skaitļiem, dod negatīvus atlikumus. Tas galīgi nesakrīt ar atlikuma matemātisko definīciju. Teiksim, $17$, dalot ar $3$ dod dalījumu $5$ un atlikumu $2$. Savukārt $-17$, dalot ar $3$ dod dalījumu $-6$ un atlikumu $1$. Atlikums, dalot ar $n$, vienmēr ir skaitlis starp $0$ un $n-1$.

4 Kvalitatīvo/kvantitatīvo īpašību atbilstība ģeometrijā
Kvalitatīva īpašība Izteikšana kvantitatīvi Ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju Pretējo leņķu summa: ∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐷=… Četrstūrī var ievilkt riņķa līniju Pretējo malu summas: 𝑎+𝑐 un 𝑏+𝑑 Trijstūris 𝐴𝐵𝐶 ir platleņķa 𝑎 2 + 𝑏 2 … 𝑐 2 Trijstūris 𝐴𝐵𝐶 ir taisnleņķa Nogriežņi 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 krustojas 1 punktā 𝐴𝐹 𝐹𝐵 ∙ 𝐵𝐷 𝐷𝐶 ∙ 𝐶𝐸 𝐸𝐴 =1

5 Kvalitatīvi un kvantitatīvi apgalvojumi aritmētikā
Kvalitatīvu īpašību var iztulkot par kvantitatīvu: Piemērs: Skaitlis 𝑛 dalās ar 7, ja 𝑛 atlikums dalot ar 7 ir 0. if (n %% 2 == 0) { ... } 𝑛 mod 2=0 if (n %% 2 == 1) { ... } 𝑛 mod 2=1 if (sqrt(n) - floor(sqrt(n)) == 0) { ... } 𝑛 − 𝑛 =0

6 Dalāmības attiecība 𝑎 | 𝑏 (lasa: "skaitlis 𝑎 dala 𝑏") apzīmē apgalvojumu, ka skaitli b var izdalīt ar a bez atlikuma. Dalāmība nav tas pats kas dalīšana. Dalīšanas rezultāts ir kvantitatīvs (decimāldaļskaitlis, parasts daļskaitlis, veselais dalījums un atlikums). Dalāmības attiecība ir kvalitatīva – rezultāts ir JĀ vai NĒ (dalās vai nedalās).

7 Dalāmības attiecības īpašības
Dalāmības attiecība naturāliem skaitļiem izpilda šādas īpašības: Refleksivitāte: Katrs skaitlis dala pats sevi. Antisimetrija: Ja 𝑎 dala 𝑏 un 𝑏 dala 𝑎, tad 𝑎 un 𝑏 ir vienādi. Transitivitāte: Ja 𝑎 dala 𝑏 un 𝑏 dala 𝑐, tad 𝑎 dala 𝑐.

8 Dalāmības pazīmes **Attēla apraksts:** \url{ Ja sāk orientēto grafu apstaigāt, sākot ar virsotni $A$ (no bultiņas "Start"), tad līdz ar katru apēsto ciparu pārvietojamies uz stāvokli, kā to norāda bultiņas. Piemēram, apēdot ciparu $4$ mums no $A$ jāpārvietojas uz $B$, utt. Skaitlis dalās ar $3$ tad un tikai tad, ja pēc visa skaitļa apēšanas esam nonākuši atpakaļ stāvoklī $A$. Šis attēls (galīgais stāvokļu automāts jeb orientēts grafs ar bultiņām, kas apzīmētas ar cipariem) simbolizē arī to faktu, ka dalot vienu veselu skaitli ar otru, rezultāts vienmēr ir periodiska decimāldaļa. Tiešām: ja sākam dalīt aiz komata (un dalāmajā visi decimālcipari aiz komata ir nulles), tad automātam visu laiku barojot nulles, sāks atkārtoties viena un tā pati stāvokļu secība. Ja, piemēram, dalām kādu veselu skaitli $n$ ar $41$, tad vai nu $n$ izdalās ar $41$ bez atlikuma (iegūstam periodu, kurā ir nulles), vai arī dalīšanas gaitā sāk parādīties no nulles atšķirīgie atlikumi, kuru ir tieši $40$. Tādēļ neviens periodiskais decimāldaļskaitlis, kur dala ar $41$ nevar būt ar periodu, kas garāks par $40$ cipariem. Nopietni runājot, ja skatāmies periodus, dalot jebkuru veselu skaitli ar $41$, neviens periods nav garāks par $5$ cipariem. (T.i. $40$ cipari ir augšējais novērtējums nevis precīzs rezultāts.) Varam izrakstīt dažas decimāldaļas: $$\begin{array}{ccl} 1/41 &=& 0.(02439),\\ 2/41 &=& 0.(04878),\\ 3/41 &=& 0.(07317),\\ 4/41 &=& 0.(09756),\\ 5/41 &=& 0.(12195), \ldots \end{array}$$ Šajās izteiksmēs iekavās liktie cipari veido periodu, t.i. bezgalīgi atkārtojas. Protams, dalīšana ar citiem skaitļiem nav tik patīkama kā ar $41$. Piemēram, dalot ar 17 varam tiešām redzēt periodus garumā $17-1 = 16$. Kursa 2.nodaļā (*Kongruences $>$ Mazā Fermā teorēma*) redzēsim, ka visiem pirmskaitļiem $p$ ir spēkā $10^{p-1}$ dod atlikumu 1, dalot ar $p$. Bet nekur nav teikts, ka arī kāda agrāka pakāpe nevarētu dot tādu pašu atlikumu.

9 Izteikumu loģika: Implikācija (ja 𝐴 tad 𝐵)
Visiem veseliem 𝑎, 𝑏, 𝑐: Ja 𝑎=𝑏, tad 𝑎∙𝑐=𝑏∙𝑐. ∀𝑎,𝑏,𝑐∈ℤ: 𝑎=𝑏 ⇒ 𝑎∙𝑐=𝑏∙𝑐 𝐴 𝐵 𝐴⇒𝐵 Piemērs TRUE 3=3 ⇒ 3 ∙7=3∙7 FALSE 2=3 ⇒ 2∙7=3∙7 2=3 ⇒ 2∙0=3∙0 N/A Pazīstamais apgalvojums (vienādības abas puses var piereizināt ar to pašu skaitli) ir vienvirziena implikācija. No kreisās puses (zilā apgalvojuma) seko labā puse (zaļais apgalvojums), bet ne otrādi. Gandrīz visas implikācijas patiesumu tabulas rindiņas ir patiesas, izņemot pēdējo: no patiesa izteikuma nevar sekot falšs izteikums. Falšajai patiesumu tabulas rindiņai nevar būt piemēra, jo tāds piemērs apgāztu vispārīgo apgalvojumu.

10 Izteikumu loģika: Ekvivalence (𝐴 t.t.t. 𝐵)
Visiem 𝑛∈ℕ: 3 dala 𝑛, t.t.t. ja 3 dala 𝑛 ciparu summu 𝑆(𝑛) ∀𝑛∈ℕ: 3 | 𝑛 ⇔ 3 | 𝑆(𝑛) 𝐴 𝐵 𝐴⇒𝐵 Piemērs TRUE ⇔ 3 𝑆(21) FALSE ⇔ 3 𝑆(22) N/A Dalāmības pazīme ar skaitli $3$ rakstāma kā loģiska ekvivalence. Atšķirībā no iepriekšējā piemērā apskatītās piereizināšanas ar skaitli $c$ (kas var būt $0$), šoreiz secināt var abos virzienos. Ja skaitlis dalās ar $3$, tad ciparu summa dalās ar $3$; savukārt ja skaitlis nedalās ar $3$, tad arī tā ciparu summa nedalās ar $3$ (citiem vārdiem, ja ciparu summa dalās ar $3$, tad arī pats skaitlis dalās ar $3$). Uzdevumos jāvar pielietot dalāmības pazīmes abos virzienos pēc vajadzības.

11 Implikācijas piemērs; izteikumu modalitāte
Izveidosim patiesumu tabulu izteikumam: "JA šodien ir trešdiena, TAD rīt ir svētdiena." Veicam pilno pārlasi visām nedēļas dienām. Diena 𝐴 𝐵 𝐴⇒𝐵 Pirmdiena FALSE TRUE Otrdiena Trešdiena Ceturtdiena Piektdiena Sestdiena Svētdiena Kā redzams patiesumu tabulā, izteikums ir aplams vienīgi trešdienās, visās citās dienās tas ir patiess. Ikdienas intuīcija parasti liek uztvert šo izteikumu kā nejēdzību – bet tas saistāms ne tik daudz ar izteikuma loģisko patiesumu, cik ar skaļi nepasacīto pieņēmumu, ka matemātikā izteikumiem jābūt universāliem jeb nepieciešami patiesiem. Toties, secinot praktiskajā dzīvē, nākas izmantot secinājumu shēmas, kuras nav universāli patiesas. Tāda shēma, kas ar 85% varbūtību ļauj nonākt pie pareizā secinājuma (kā mūsu piemērā ar nedēļas dienām) skaitās pat visai uzticama. Tad, ja kāds izmanto secināšanas shēmu, kas nav piemērojama noteikta veida izņēmumiem (piemēram, "Vārda brīvība nozīmē: Ja cilvēks vēlas paust savu viedokli un ar to neapdraud citu cilvēku likumīgās intereses, tad viņš to drīkst darīt, izņemot trešdienās") tad mēdz teikt, ka ir pielietots *dubultstandarts*.

12 Apgalvojumu modalitāte (CAN vs. MUST)
Taisnleņķa trijstūrī ABC ir spēkā sakarība: 𝑎+2𝑏+3𝑐=6 cm (Vienādojums, kas var būt vai nebūt spēkā.) Taisnleņķa trijstūrī ABC ir spēkā sakarība: 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 (Identitāte, kas nepieciešami ir spēkā.)

13 Divu veidu apgalvojumi
JA šodien ir trešdiena, TAD rīt ir svētdiena (apgalvojuma patiesums atkarīgs no konteksta) JA šodien ir sestdiena, TAD rīt ir svētdiena (apgalvojums ir universāli patiess)

14 Īpašības un pazīmes Īpašība ir nepieciešams nosacījums. Ja daudzstūris ir paralelograms, tad tam ir četras malas. ("Būt četrstūrim" ir paralelogramu īpašība.) Pazīme ir pietiekams nosacījums. Ja četrstūra diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm, tad četrstūris ir paralelograms. (Krustpunktā uz pusēm sadalītas diagonāles ir paralelogramu pazīme.) Starp citu, krustpunktā uz pusēm sadalītas diagonāles ir arī paralelogramu īpašība, jo tā piemīt visiem paralelogramiem. (Kā vingrinājumu varat mēģināt minēt tādu pazīmi, kura nav īpašība. T.i. tādu izteikumu kas ļauj viennozīmīgi pateikt, ka četrstūris ir paralelograms, bet ne obligāti piemīt visiem paralelogramiem.) **Piezīme:** Angļu matemātikas terminoloģijā vārdus *īpašība* un *pazīme* parasti izsaka attiecīgi kā *necessary condition* un *sufficient condition*. Savukārt *dalāmības pazīmes* tur sauc *divisibility rules* jeb dalāmības likumi.

15 Īpašību un pazīmju salīdzinājums
Īpašība kopai 𝑆 Pazīme kopai 𝑆 𝑺 𝑺 Īpašība+pazīme jeb nepieciešamais un pietiekamais nosacījums kopai 𝑆 𝑺 Ne visas īpašības ir pazīmes un ne visas pazīmes ir īpašības: * Kreisajā zīmējumā: atrašanās oranžajā apgabalā ir visu kopas $S$ elementu *īpašība*, * Labajā zīmējumā: atrašanās oranžajā apgabalā ir *pazīme* tam, ka elements ir no $S$. * Vidējā zīmējumā oranžais apgabals ir reizē īpašība un pazīme. To sauc par *nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu*; raksta arī, ka punkts pieder kopai $S$ tad un tikai tad (t.t.t.), ja tas atrodas oranžajā apgabalā. Dalāmības pazīmes ir vienlaikus gan īpašības, gan pazīmes; tās atbilst vidējam bumbulītim zīmējumā.

16 Dalāmības pazīmes skaitļiem 𝟐 𝒏 vai 𝟓 𝒏
Skaitlis dalās ar 2 t.t.t. ja tā pēdējais cipars dalās ar 2 (jeb beidzas ar pāru ciparu). Skaitlis dalās ar 4 t.t.t. ja tā pēdējo divu ciparu veidotais skaitlis dalās ar 4 (beidzas ar 00,04,08,12,...,96). Skaitlis dalās ar 8 t.t.t. ja tā pēdējo trīs ciparu veidotais skaitlis dalās ar 8 (beidzas ar 000,008,016,...,992) Dalāmības pazīmes vispārīgais izskats Skaitlis 𝑥 dalās ar 𝒎 Skaitlis 𝑓(𝑥) dalās ar 𝒎 ⟺ t.t.t. * Skaitlis dalās ar $5$ t.t.t. ja tā pēdējais cipars dalās ar $5$ (beidzas ar $0$ vai $5$). * Skaitlis dalās ar $25$ t.t.t. ja tā pēdējo divu ciparu veidotais skaitlis dalās ar $25$ (beidzas ar $00$,$25$,$50$,$75$). * Skaitlis dalās ar $125$ t.t.t. ja tā pēdējo trīs ciparu veidotais skaitlis dalās ar $125$ (beidzas ar $000$, $125$, $250$, $375$, $500$, $625$, $750$, $875$). **Uzdevums:** Skaitļa $n$ decimālpierakstā pa vienam izmantoti visi $10$ cipari. Ar kādu lielāko $2$ pakāpi var dalīties $n$?

17 Dalāmības pazīmes skaitļiem 𝟐 𝒎 𝟓 𝒏
Dalāmības pazīmes skaitļiem 10, 100, 1000, utt. Dalāmības pazīmes skaitļiem 𝟐 𝒎 𝟓 𝒏 no tabuliņas: 1 2 4 8 16 32 5 10 20 40 80 160 25 50 100 200 400 800 125 250 500 1000 2000 4000 625 1250 2500 5000 10000 20000 3125 6250 12500 25000 50000 100000 Dalāmības pazīme ar 𝑚 – skaitlis dalās ar 𝑚 t.t.t. ja tā pēdējie 4 cipari dalās ar 𝑚. (Derīga visiem 9 izceltajiem skaitļiem) 𝑚 Runājot par dalāmības pazīmēm skaitļi $2^m5^n$ ieņem īpašu vietu. Tie ir skaitļi, kuriem eksistē desmitnieka pakāpe, ar kuru tie dalās. Tādēļ dalāmības pazīme var atmest ciparus, kuru pozīcija (vieta decimālpierakstā no labās puses) ir lielāka par $\max(m,n)$. Skaitļi šajā formā ir unikāli arī ar to, ka viņiem iespējams līdz galam veikt dalīšanu ar parasto decimāldaļu. T.i. dalīšana $a/(2^m5^n)$ reiz beidzas un pēc galīga skaita cipariem aiz komata decimāldaļa beidzas (var uzskatīt, ka tā beidzas ar ciparu $0$ periodā). Galīgiem decimāldaļskaitļiem ir divi pieraksti (kas abi ir pareizi un vienlīdz izmantojami) – viens ar ciparu $0$ periodā, otrs ar ciparu $9$ periodā. Piemēram, $$ \frac{1}{4} = \ldots = \ldots $$

18 Dalāmības pazīmes ar 3 un 9
Dalāmība ar 3: Skaitlis dalās ar 3 t.t.t. ja tā ciparu summa dalās ar 3 Dalāmība ar 9: Skaitlis dalās ar 9 t.t.t. ja tā ciparu summa dalās ar 9 Pamatojums: Sākotnējais skaitlis ir 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘−1 𝑎 𝑘−2 ⋯ 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 = = 𝑎 𝑘 10 𝑘 + 𝑎 𝑘−1 10 𝑘−1 + ⋯+ 𝑎 𝑎 0 Ja skaitli aizstāj ar 𝑎 𝑘 + 𝑎 𝑘−1 + ⋯+ 𝑎 1 + 𝑎 0 , tad reizinātājs pie 𝑎 𝑘 bija 10 𝑘 , bet kļuva 1. T.i. summa samazinājās par 10 𝑘 −1 𝑎 𝑘 , jeb par 99⋯99× 𝑎 𝑘 (kur 99⋯99 ir skaitlis no 𝑘 deviņniekiem). Šis samazinājums pats dalās ar 9. Tādēļ samazināšana neatstāj iespaidu uz dalāmību ar 9. Līdzīgi arī ikvienam citam ciparam 𝑎 𝑖 . Visos gadījumos ir runa par skaitļa decimālpierakstu. Citu skaitļu (izņemot 3 un 9) ar līdzīgu dalāmības pazīmi nav: Lai dalāmības pazīmei ar $n$ ciparus varētu skaitīt kopā, neņemot vērā cipara sākotnējo pozīciju decimālpierakstā, vajag, lai $9, 99, 999, \ldots$ dalītos ar $n$. Šāda īpašība piemīt tikai $3$ un $9$.

19 Dalāmības pazīme skaitlim 11
Skaitlis dalās ar 11 t.t.t., ja tā ciparu summa, kas atrodas pāra pozīcijās, mīnus ciparu summa, kas atrodas nepāra pozīcijās, dalās ar 11. Pamatojums: Līdzīgi kā skaitlim 9. Sākotnējais skaitlis ir 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘−1 𝑎 𝑘−2 ⋯ 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 = = 𝑎 𝑘 10 𝑘 + 𝑎 𝑘−1 10 𝑘−1 + ⋯+ 𝑎 𝑎 0 . Ja 𝒌=𝟐𝒋 ir pāru skaitlis, tad aizstājot 𝑎 𝑘 10 𝑘 ar 𝑎 𝑘 , samazinājums ir 10 𝑘 −1 10 𝑘 −1 𝑎 𝑘 = 10 2𝑗 −1 𝑎 𝑘 = 100 𝑗 −1 𝑎 𝑘 . Pēc ģeometriskas progresijas summas formulas: 100 𝑗 −1=(100−1) 100 𝑗− 𝑗−2 +⋯ Iegūstam, ka 100 𝑗 −1 vienmēr dalās ar 99 (tātad arī arī 11). Ja 𝒌=𝟐𝒋+𝟏 ir nepāru skaitlis, tad pamato, ka 10 2𝑗+1 +1 vienmēr dalās ar 11. Piemēri: 1. $1001$ dalās ar $11$, jo $(1 + 0) - (0+1) = 0$ dalās ar $11$. 2. $979$ dalās ar $11$, jo $(9+9) - 7 = 11$ dalās ar $11$

20 Dalāmības pazīme ar 7 Skaitlis dalās ar 7 t.t.t., ja šim skaitlim nosvītrojot pēdējo ciparu, divkāršojot to un atņemot no «saīsinātā» skaitļa – rezultāts dalās ar 7. 7 10𝑎+𝑏 ⟺ 7 𝑎−2𝑏  – 4  – 6  1939 – 14 1925  192 – 10 182  18 – 4 14  1 – 8 -7 Skaitlis dalās ar $11$ t.t.t., ja šim skaitlim nosvītrojot pēdējo ciparu, un atņemot no «saīsinātā» skaitļa – rezultāts dalās ar $11$. $$11 \mid 10a + b \Leftrightarrow 11 \mid a-b.$$ Skaitlis dalās ar $13$ t.t.t., ja šim skaitlim nosvītrojot pēdējo ciparu, četrkāršojot to un pieskaitot “saīsinātajam” skaitlim – rezultāts dalās ar $13$: $$13 \mid 10a+b \Leftrightarrow 13 \mid a + 4b.$$

21 Pazīmes pamatojums (secināšana abos virzienos)
1. apgalvojums: 𝑎+𝑏 ⇒ 7 𝑎−2𝑏 JA 10𝑎+𝑏 dalās ar 7, TAD 20𝑎+2𝑏 arī dalās ar 7 un 21𝑎− 20𝑎+2𝑏 =𝑎−2𝑏 dalās ar 7. ⇒ 2. apgalvojums: 7 𝑎−2𝑏 ⇒7 10𝑎+𝑏 JA 𝑎−2𝑏 dalās ar 7, TAD 10𝑎−20𝑏 arī dalās ar 7 un 10𝑎−20𝑏 + 21𝑏 =10𝑎+𝑏 dalās ar 7. ⇐ ⇔ 7 10𝑎+𝑏 ⟺ 7 𝑎−2𝑏

22 Kuram skaitlim der dalāmības pazīme?
Jautājums:  Skaitlim nosvītroja pēdējo ciparu, pareizināja ar 2 un pieskaitīja to «saīsinātajam» skaitlim. Ir spēkā apgalvojums: Ja rezultāts dalās ar 𝑚, tad arī sākotnējais skaitlis dalās ar 𝑚. Atrast kādu 𝑚 vērtību, kam tas izpildās. Atbilde: 19. Plašāku sarakstu ar dalāmības pazīmēm var atrast \url{

23 Pazīmju kombinēšana

24 Kā iegūt dalāmības pazīmi 2 skaitļu reizinājumam?
Dalāmības pazīme ar 6? Dalāmības pazīme ar 10? Dalāmības pazīme ar 12? ar 15? Ja skaitlis n dalās ar 6 un ar 20, vai tas dalās ar 120?

25 Vispārīgs apgalvojums
Teorēma: Ja skaitļi a un b ir ... , tad jebkuram 𝑛 ir spēkā: 𝑎 | 𝑛 un 𝑏 | 𝑛 t.t.t. 𝑎𝑏 | 𝑛.

26 Dalāmības pazīme ar 𝑛 skaitļiem, kuri nedalās ar 𝑛

27 Dalāmības pazīme: Skaitlis 𝑛 dalās ar 3 t. t. t
Dalāmības pazīme: Skaitlis 𝑛 dalās ar 3 t.t.t. ja 𝑛 ciparu summa dalās ar 3. Vai ir spēkā vispārīgāks apgalvojums: Skaitlis 𝑛 dod atlikumu 𝑟 dalot ar 3 t.t.t. ja 𝑛 ciparu summa dod atlikumu 𝑟, dalot ar 3.

28 Dalāmības pārbaude ar "galīgu automātu"
Dalāmības pārbaude ar "galīgu automātu". Katrā solī automāts "apēd" vienu ciparu un var mainīt stāvokli (atbilstoši bultiņai).

29 Galīgi automāti dalāmībai ar 2 vai ar 4
Vai var uzzīmēt galīgu automātu (ar sākuma stāvokli – ieejošo bultiņu; beigu stāvokli – dubulto aplīti un bultiņām), kas pārbauda dalāmību ar 2? Vai dalāmību ar 4?